यदि frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1 | vedclass

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Question

(A) माना व्यंजक $f(x, y) = \frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ है।अंश को $(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2$ के रूप में लिखा जा सकता ह

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$\lambda \in (0, 1)$

Vedclass · Answer

(A) माना व्यंजक $f(x, y) = \frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ है।अंश को $(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$f(x, y) = \frac{(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2}{x(xy + 1)}$.प्रत्येक पद को $x(xy + 1)$ से विभाजित करने पर,$f(x, y) = \frac{xy + 1}{x} - 2 + \frac{2x}{xy + 1}$ प्राप्त होता है।माना $u = \frac{xy + 1}{x}$ है। चूँकि $x, y > 0$,इसलिए $u = y + \frac{1}{x} > 0$.तब $f(x, y) = u + \frac{2}{u} - 2$.समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$u + \frac{2}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{2}{u}} = 2\sqrt{2}$.इसलिए,न्यूनतम मान $\lambda = 2\sqrt{2} - 2$ है।चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\lambda \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.अतः,$0 < \lambda < 1$,जिसका अर्थ है कि $\lambda \in (0, 1)$।

यदि $\frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ का न्यूनतम मान $\lambda$ है,जहाँ $x, y \in R^+$ और $x^2y + x \neq 0$,तो:

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